פתרון בגרות 2019 מועד ב (481)טריגונומטריה 571 · שיעור 24
בגרות 481 – קיץ 2019 מועד ב, שאלה 5
שיעור 23 – פתרון בגרות 2019 מועד ב (481)
פרק 4 – פתרון בגרויות (שאלון 481)
1נוסח השאלה
2סעיף א – ∢BDC
3סעיף ב – השוק AD
4סעיף ג(1) – DF
5סעיף ג(2) – רדיוס המעגל החוסם
📄 נוסח השאלה
בטרפז ABCD (AB ∥ DC) שבציור נתון:
BC = 4 , DC = 7 , BD = 6.
א. חשבו את גודל הזווית ∢BDC.
ב. נתון: AB = AD. מצאו את אורך הצלע AD.
ג. הנקודה F נמצאת על הצלע DC. נתון כי שטח המשולש ADF הוא 8.
(1) מצאו את אורך הצלע DF.
(2) מצאו את אורך רדיוס המעגל החוסם את המשולש ADF.
(1) מצאו את אורך הצלע DF.
(2) מצאו את אורך רדיוס המעגל החוסם את המשולש ADF.
סעיף א – ∢BDC
במשולש BDC ידועות שלוש הצלעות. הזווית ∢BDC מול הצלע BC = 4:
BC2 = BD2 + DC2 − 2 · BD · DC · cos∢BDC
📐 משפט הקוסינוסים
נציב BC = 4 , BD = 6 , DC = 7:
42 = 62 + 72 − 2 · 6 · 7 · cos∢BDC
16 = 36 + 49 − 84 cos∢BDC
84 cos∢BDC = 69
📐 משפט הקוסינוסים
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos∢C
הזווית ∢C מול הצלע c
הזווית ∢C מול הצלע c
סעיף א – ∢BDC · המשך
84 cos∢BDC = 69
cos∢BDC = 6984 ≈ 0.8214
∢BDC ≈ 34.77
במחשבון: SHIFT cos ( 69 ÷ 84 ) =.
✅ פתרון סופי: ∢BDC ≈ 34.77
סעיף ב – השוק AD
AB ∥ DC , לכן הזוויות ∢ABD ו־∢BDC מתחלפות ושוות:
∢ABD = ∢BDC ≈ 34.77
המשולש ABD שווה שוקיים (AB = AD), לכן זוויות הבסיס שוות:
∢ADB = ∢ABD ≈ 34.77
סכום הזוויות במשולש ABD:
∢A + ∢ABD + ∢ADB = 180
📐 סכום זוויות במשולש
📐 סכום זוויות במשולש
180 מעלות
סעיף ב – השוק AD · המשך
∢A + ∢ABD + ∢ADB = 180
📐 סכום זוויות במשולש
נציב ∢ABD = ∢ADB ≈ 34.77:
∢A + 34.77 + 34.77 = 180
∢A = 180 − 69.54 = 110.46
הצלע AD מול ∢ABD , והצלע BD = 6 מול ∢A:
ADsin∢ABD = BDsin∢A
📐 משפט הסינוסים
📐 סכום זוויות במשולש
180 מעלות
📐 משפט הסינוסים
asin∢A = bsin∢B = csin∢C = 2R
סעיף ב – השוק AD · המשך
ADsin∢ABD = BDsin∢A
📐 משפט הסינוסים
נציב ∢ABD ≈ 34.77 , BD = 6 , ∢A ≈ 110.46:
ADsin 34.77 = 6sin 110.46
AD = 6 · sin 34.77sin 110.46 ≈ 3.65
✅ פתרון סופי: AD ≈ 3.65
📐 משפט הסינוסים
asin∢A = bsin∢B = csin∢C = 2R
סעיף ג(1) – DF
הזווית ∢ADF היא כל הזווית ∢ADC של הטרפז:
∢ADF = ∢ADB + ∢BDC
נציב ∢ADB ≈ 34.77 , ∢BDC ≈ 34.77:
∢ADF ≈ 34.77 + 34.77 = 69.54
במשולש ADF ידועות הצלע AD ≈ 3.65 , הזווית ∢ADF והשטח. נציב בנוסחת השטח:
SADF = 12 · AD · DF · sin∢ADF
📐 שטח משולש בעזרת סינוס
📐 שטח משולש בעזרת סינוס
S = 12 · a · b · sin∢C
הזווית שבין a ו־b
הזווית שבין a ו־b
סעיף ג(1) – DF · המשך
SADF = 12 · AD · DF · sin∢ADF
📐 שטח משולש בעזרת סינוס
נציב S = 8 , AD ≈ 3.65 מסעיף ב, ∢ADF ≈ 69.54:
8 = 12 · 3.65 · DF · sin 69.54
8 ≈ 1.71 · DF
DF = 163.65 · sin 69.54 ≈ 4.68
בסרטון עוגל ל־DF ≈ 4.7 , ובחישוב רציף מקבלים 4.68.
📐 שטח משולש בעזרת סינוס
S = 12 · a · b · sin∢C
הזווית שבין a ו־b
הזווית שבין a ו־b
סעיף ג(1) – DF · המשך
בסרטון עוגל ל־DF ≈ 4.7 , ובחישוב רציף מקבלים 4.68.
✅ פתרון סופי: DF ≈ 4.68
סעיף ג(2) – רדיוס המעגל החוסם
סעיף זה לא נפתר בסרטון – הנה הפתרון המלא.
קודם נמצא את הצלע AF , שמול הזווית ∢ADF:
AF2 = AD2 + DF2 − 2 · AD · DF · cos∢ADF
📐 משפט הקוסינוסים
נציב AD ≈ 3.65 , DF ≈ 4.68 , ∢ADF ≈ 69.54:
AF2 = 3.652 + 4.682 − 2 · 3.65 · 4.68 · cos 69.54
AF2 ≈ 13.32 + 21.90 − 11.94
📐 משפט הקוסינוסים
c2 = a2 + b2 − 2ab · cos∢C
הזווית ∢C מול הצלע c
הזווית ∢C מול הצלע c
סעיף ג(2) – רדיוס המעגל החוסם · המשך
AF2 ≈ 13.32 + 21.90 − 11.94
AF2 ≈ 23.28
AF ≈ 4.82
לפי משפט הסינוסים במשולש ADF:
AFsin∢ADF = 2R
📐 משפט הסינוסים
נציב AF ≈ 4.82 ו־∢ADF ≈ 69.54:
📐 משפט הסינוסים
asin∢A = bsin∢B = csin∢C = 2R
סעיף ג(2) – רדיוס המעגל החוסם · המשך
נציב AF ≈ 4.82 ו־∢ADF ≈ 69.54:
4.82sin 69.54 = 2R
R = 4.822 · sin 69.54 ≈ 2.57
✅ פתרון סופי: R ≈ 2.57
📌 סיכום התשובות
סעיף א
∢BDC ≈ 34.77
סעיף ב
AD ≈ 3.65
סעיף ג(1)
DF ≈ 4.68
סעיף ג(2)
R ≈ 2.57
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא